5.3.1. R^n 中向量的内积

在第三章里,我们已经定义了平面或空间向量的内积. 对于向量 $\alpha$ 和 $\beta$,令

$$\alpha \cdot \beta =\left|\alpha \right|\cdot \left|\beta \right|\cos ⟨\alpha ,\beta ⟩$$

其中 $⟨\alpha ,\beta ⟩$ 表示 $\alpha$ 与 $\beta$ 的夹角, 亦即 $\alpha \cdot \beta$ 为 $\alpha$ 和 $\beta$ 的点乘或内积, 且满足第三章的 性质 2.1 若在空间中建立了直角坐标系, 而 $\alpha$, $\beta$ 分别以 $\left(x_1,y_1,z_1\right)$, $(x_2$, $y_2,z_2)$ 为坐标, 那么

$$\alpha \cdot \beta =x_1{x}_2+y_1{y}_2+z_1{z}_2$$

在平面上, $\alpha$, $\beta$ 的坐标形如 $\left(x_1,y_1\right)$, $\left(x_2,y_2\right)$,则

$$\alpha \cdot \beta =x_1{x}_2+y_1{y}_2$$

我们将此内积的概念推广到 ${\mathbb{R}}^n$ 上.

定义 3.1. 内积

设 $\alpha =\left(x_1,x_2,\cdots ,x_n\right)$, $\beta =\left(y_1,y_2,\cdots ,y_n\right)\in {\mathbb{R}}^n$, 定义

$$\left(\alpha ,\beta \right)=\alpha {\beta }^{\mathrm{T}}=x_1{y}_1+x_2{y}_2+\cdots +x_n{y}_n=\sum _{i=1}^n{x}_i{y}_i$$

称 $\left(\alpha ,\beta \right)$ 为 $\alpha ,\beta$ 的内积.

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注意, 若统一用列向量来表示 ${\mathbb{R}}^n$ 中的向量, 设

$$\alpha =\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right),\beta =\left(\begin{array}{c}{y}_1\\ y_2\\ ⋮\\ y_n\end{array}\right)$$

则内积仍定义为 $\left(\alpha ,\beta \right)=x_1{y}_1+x_2{y}_2+\cdots +x_n{y}_n=\sum _{i=1}^n{x}_i{y}_i,$ 但若用矩阵的乘积来表示, 应写成 $\left(\alpha ,\beta \right)={\alpha }^{\mathrm{T}}\beta .$

定义 内积空间

定义了线性运算和内积的向量空间 ${\mathbb{R}}^n$ 称为内积空间, 以后仍然用 ${\mathbb{R}}^n$ 表示这个内积空间.

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性质 (内积的运算规律)

对于一切 $\alpha ,\beta ,{\alpha }_1,{\alpha }_2\in {\mathbb{R}}^n$ 和一切实数 $k$, 内积满足下列运算规律:

1. $\left(\alpha ,\beta \right)=\left(\beta ,\alpha \right)$ ;
2. $\left(k\alpha ,\beta \right)=k\left(\alpha ,\beta \right)$ ;
3. $\left({\alpha }_1+{\alpha }_2,\beta \right)=\left({\alpha }_1,\beta \right)+\left({\alpha }_2,\beta \right)$ ;
4. $\left(\alpha ,\alpha \right)\ge 0$, 当且仅当 $\alpha =0$ 时, $\left(\alpha ,\alpha \right)=0$.

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定义 3.2. 长度

若 $\alpha =\left(a_1,a_2,\cdots ,a_n\right)\in {\mathbb{R}}^n$, 实数 $\left|\alpha \right|=\sqrt{\left(\alpha ,\alpha \right)}$ 称为 $\alpha$ 的长度, 即

$$\left|\alpha \right|=\sqrt{\left(\alpha ,\alpha \right)}=\sqrt{a_1^2+a_2^2+\cdots +a_n^2}.$$Link to original

这意味着向量的长度是非负实数. 长度为 1 的向量称为单位向量. 长度有下列性质:

性质 3.1. 长度的性质

定义 (向量的单位化)

当 $\alpha \ne 0$ 时,

$$\left|\frac{1}{\left|\alpha \right|}\alpha \right|=\frac{1}{\left|\alpha \right|}\left|\alpha \right|=1$$

即 $\beta =\frac{1}{|\alpha |}\alpha$ 是单位向量,将 $\alpha$ 变为 $\beta =\frac{1}{|\alpha |}\alpha$ 称为将 $\alpha$ 单位化.

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由内积和长度, 我们可定义两个向量的夹角.

定义 3.3. 夹角

设 $\alpha ,\beta$ 为 ${\mathbb{R}}^n$ 中的两个非零向量, 规定 $\alpha ,\beta$ 的夹角为满足条件

$$\cos \theta =\frac{\left(\alpha ,\beta \right)}{\left|\alpha \right|\cdot \left|\beta \right|}\left(0\le \theta \le \pi \right)$$

的角度 $\theta$.

向量 $\alpha ,\beta$ 的夹角记作 $⟨\alpha ,\beta ⟩$.

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因为我们已证明 $\left|\left(\alpha ,\beta \right)\right|\le \left|\alpha \right|\cdot \left|\beta \right|$,故

$$-1\le \frac{\left(\alpha ,\beta \right)}{\left|\alpha \right|\cdot \left|\beta \right|}\le 1$$

这说明 定义 3.3. 夹角 所定义的 $\theta$ 存在并且只有一个.

定义 3.4. 正交

若 $\alpha ,\beta \in {\mathbb{R}}^n$,而 $⟨\alpha ,\beta ⟩=\frac{\pi }{2}$,则 $\alpha ,\beta$ 垂直或正交.

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零向量与任何向量正交.

由此可得

性质 3.2. 正交与内积

$\alpha ,\beta \in {\mathbb{R}}^n$, 则 $\alpha ,\beta$ 正交当且仅当 $\left(\alpha ,\beta \right)=0$.

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